一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝lgx－1x的零点所在的区间是( )
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
答案：B
解析：∵函数f(x)＝lgx－1x，
∴f(2)＝lg2－12＝lg2－lg10 ＜0，
f(3)＝lg3－13＝lg3－lg10 ＞0，
∴f(2)f(3)＜0
由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为(2,3)，故选B.
2．如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝ln x＋2x＋a的零点所在区间是( )
A.14，12 B．(1,2)
C.12，1 D．(2,3)
答案：C
解析：解：由函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象得0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，
而g(x)＝lnx＋2x＋a在定义域内单调递增，
g(12)＝ln12＋1＋a＜0，
g(1)＝ln1＋2＋a＝2＋a＞0，
∴函数g(x)＝lnx＋2x＋a的零点所在的区间是(12，1)；
故选C.
3．已知函数y1＝1x－1，y2＝－x2＋2，y3＝2x2－1，y4＝2x－x3，其中能用二分法求出函数零点的函数个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：A
解析：画出四个函数的图象，它们都存在区间[a，b]，使f(a)•f(b)<0，因此，都可以用二分法求零点．
4．函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2，e) D．(3,4)
答案：B
解析：f(1)＝ln2－2<0 f(2)ln3－1>0∴f(x)的零点所在区间是(1,2)
5．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( )
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
答案：A
解析：饮各自杯中酒的一半，柱形杯中酒的高度变为原来的一半，其他的比一半大，前三个杯子中圆锥形的杯子酒的高度最高，可排除选项B、C、D.
6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则每件产品的平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
答案：B
解析：若每批生产x件产品，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8元．因为y＝800x＋x8＝800x－x82＋20≥20，当800x＝x8，即x＝80时取等号，所以每批应生产产品80件．
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝cx，x<AcA，x≥A(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是________．
答案：60,16
解析：因为组装第A件产品用时15 min，所以cA＝15 ①；所以必有4<A，且c4＝c2＝30 ②，联立①②解得c＝60，A＝16.
8．设函数y＝x3与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.
答案：1
解析：画出函数y＝x3和y＝12x－2的图象，如图所示．由函数图象，知1<x0<2，所以n＝1.
9．若关于x的方程|x|x－2＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．
答案：0，12
解析：由题意可知k≠0，
∵|x|x－2＝kx，∴kx2－2kx＝|x|.
当x≥0时，kx2－2kx＝x，
解得x＝0或x＝2k＋1k，
∴2k＋1k>0，∴k>0或k<－12；
当x<0时，kx2－2kx＝－x，
解得x＝0(舍去)或x＝2k－1k，
∴2k－1k<0，∴0<k<12.
综上可知，k的取值范围是0，12.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知函数f(x)＝4x＋m•2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．
解：f(x)＝ 4x＋m•2x＋1仅有一个零点，即方程(2x)2＋m•2x＋1＝0仅有一个实根．令t＝2x.(t>0)．
①当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝±2.∴t＝1或－1(舍)．∴2x＝1.
即x＝0满足题意，
即m＝－2时，有唯一的零点0.
②当Δ>0，即m<－2或m>2.
t2＋mt＋1＝0有一正一负两根满足条件，则t1t2<0，又t1t2＝1>0，故不成立．
综合所述，m＝－2时，f(x)有唯一的零点0.
11．(13分)证明方程2x＋x＝4在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度为0.3)．
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解：设函数f(x)＝2x＋x－4，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0，
f(x)在区间(1,2)上单调递增，
∴f(x)在区间(1,2)内有唯一的零点，
则方程2x＋x－4＝0在区间(1,2)内有唯一一个实数解．
取区间(1,2)作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
区间 中点的值 中点的函数值 区间长度
(1,2) 1.5 0.33 1
(1,1.5) 1.25 －0.37 0.5
(1.25,1.5) 1.375 －0.031 0.25
由上表可知，区间(1.25,1.5)的长度为0.25<0.3.
∴方程的实数解为1.375.
能力提升
12．(5分)若容器A有m升水，将水慢慢注入容器B，t分钟后A中剩余水量y符合指数函数y＝me－at(e为自然对数的底)．假设经过5分钟时，容器A和容器B水量相等，且又过n分钟容器A中水只有m8，则n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：D
解析：m•e－5a＝12m，m•e－a5＋n＝m8，
∴e－5a＝12，e－a(5＋n)＝18∴e－15a＝e－a(5＋n)，15＝n＋5，n＝10.
13．(15分)某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．
(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)租金增加了900元，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．
(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．租赁公司的月收益为y元，y＝(3 000＋60x)(10－x)－160(100－x)－60x，其中，x∈[0,100]，x∈N，整理，得y＝－60x2＋3 100x＋284 000＝－60x－15562＋972 1253.
当x＝26时，ymax＝324 040，即最大月收益为324 040元．
此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．
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