一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 .
1. 数列{a n}中, 若a 1=3, a n+1= a n – 2 (nN ), 则a n= ( )
(A) 1 – 2n. (B) 2n + 1. (C) 5 –2n.. (D) 2n + 5.
2. 下列向量中，可以不共线的一组向量是（ ）
(A) a= –2e , b = 2e. (B) a= e1 –e2, b = –2 e1 +2e2.
(C) a= 4e1 – e2, b = e1 – e2. (D) a = e1 + e2, b = 2 e1 – 2e2.
3．函数y = 10x –1的反函数是 （ ）
(A) y = lgx + 1( x > –1 ) . (B) y = lg(x－1)( x > 1 ).
(C)y = lgx – 1 ( x >0) . (D) y = lg(x + 1)( x >–1) .
4. 将函数y = log22x的图象F按向量a = (2,–1)平移到F，则F的解析式为（ ）
(A) y = log2(2x – 4) – 1 . (B) y = log2(2x + 4) – 1 .
(C) y = log2(2x + 4 ) +1 . (D) y = log2(2x – 4 ) + 1 .
5. 函数y = Asin (x + )在同一周期内，当x = 时, y取最大值2 ; 当x = 时, y取最小值–2 , 则该函数的解析式是 ( )
(A) y = 2sin (x + ). (B) y = 2sin (2x + ).
(C) y = 2sin ( – ). (D) y = 2sin (2x + ).
6. 已知集合A = { x | 0 }, B = { x | | 2x + 1| > 5 }, S = R, 则S(A∩B)等于 ( )
(A) { x | x 2或x > 3}. (B) { x | 2 < x 3 }.
(C) { x | x < 2或x 3 }. (D) { x | –2 x 3}.
7. 已知+ = , 则cosacosb – sinacosb – cosasinb – sinasinb 的值为 ( )
(A) – . (B) – (C) . (D) .
8. 据调查发现，某湿地的面积在最近50年内减少了10％. 如果按此规律，设2000年该湿地的面积为m km2，则经过x年，湿地的面积y与x的函数关系是 ( )
(A) . (B)
(C) . (D) .
（第9题）
9. 如图电路中，规定“开关A的闭合”为条件M，“灯泡B亮”为结论N，观察以下图1和图2，可得出的正确结论分别是 （ ）
（A）M是N的充分而不必要条件.
（B）M是N的必要而不充分条件.
（C）M是N的充要条件.
（D）M是N的既不充分也必要不条件.
10. 甲船在千岛湖B岛的正南A处，AB = 3km. 甲船以8 km / h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发以12 km/ h的速度向北偏东60°的方向驶去，则行驶15分钟，两船之间的距离是（ ）
(A) km. (B) km. (C) km. (D) km.
11. 已知A为三角形的一个内角，函数y = x2cosA – 4xsinA + 6 , 对于任意实数x都有y > 0，则角A的取值范围是 （ ）.
（A）0<A< . （B） <A≤ . （C） <A<. （D）0 < A< .
12．一个递增的整数数列a1, a2 , a3, … 满足条件：a n + 2 = a n+1 + a n (n N*), 若a5 = 59, 则首项a1的最大值是 ( )
(A) 4. (B) 7. (C) 10. (D) 11.
二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.
13．log318 – log32 = .
14. 在△ABC中, 若A = 60, B = 75, c = 6 , 则a = .
15. 在直角坐标系中, = ( , ) , | |= 2, 且 • = 0, 则点B的坐标是 .
(第17题）
16. 若cos2 = , 则sin4 – cos4 = .
17．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如右图所示. 假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
(1) 此指数函数的底数为2；
(2) 在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；
(3) 野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
(4) 设野生水葫芦蔓延到2m2,3m2, 6m2所需的时间分别为t1, t2, t3, 则有t1 + t2 = t3；
(5) 野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度；
其中正确的说法有 . (请把正确说法的序号都填在横线上)
三．解答题：本大题有4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
18．(本小题满分10分)
设函数f ( x ) = (sinx – cosx)2 x R .
(1) 求函数f ( x )的最小正周期T；
(2) 当x为何值时，函数f ( x )取最大值？并求出这个最大值.
19. (本小题满分8分)
设i , j 是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且 = 4i + 2j , = 3i + 4 j . 试证：△ABC是直角三角形.
20. (本小题满分12分)
(1) 画出函数g (x ) = x2 – 2|x| 的图象；
(2) 证明函数f ( x ) = x + 在（0，1]上单调递减.
21 (本小题满分14分)
某次国际网球邀请赛共有128位选手参加，比赛采用单淘汰制，即每轮淘汰一半的选手，剩下一半的选手进入下一轮. 在第1轮被淘汰的每位选手可获得出场费1万元，在第2轮被淘汰的选手可获得2万元，在第k轮被淘汰的选手可获得2 k – 1 万元，而冠军则可获得128万元.
（1）求本次网球邀请赛共需出场费多少万元？
（2）设网球场有3000个坐位，第一轮比赛门票价格为a元( a为整数)，第二轮比赛门票价格为a + 50元，第k轮比赛门票价格为a + 50(k – 1 )元. 假设每场比赛均满座，且每张门票可观看一轮的所有比赛，则要使本次邀请赛不亏本，第一轮门票价格a应该如何确定？
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数学参考答案
一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分..
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D A B A B A A B A C
二．填空题：本大题有5小题, 每小题4分, 共20分.
13．2 . 14. 3
15.（0，2 )，(2 ,0） . 16. –
17（1）（2）（4） .
三．解答题：本大题有4小题, 共44分.
18．(本小题满分10分)
解 (1) f ( x ) = (1 – 2sinxcosx) = – sin2x. 4分
∴ T = . 2分
(2) x = k – ( k Z )时, f ( x )max = 2 . 4分
19. (本小题满分8分)
证1：∵i , j 是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，
∴| i | =1, | j | = 1, 且i⊥j ， 即i • j ＝０.
∵ = – =–i + 2 j , 4分
∴ • = – 4 + 4 = 0，
∴∠B = 90，即△ABC是直角三角形. 4分
证2. ∵i , j 是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，
∴| i | =1, | j | = 1, 且i⊥j ， 即i • j ＝０.
又∵ = 4i + 2j , = 3i + 4 j ，∴| |= ，｜ ｜＝５，cos< , >= . 4分
从而 = 5 .
∴｜ ｜２＋｜ ｜２＝｜ ｜２，故△ABC是直角三角形. 4分
20. (本小题满分12分)
解 (1)法1：
g ( x ) = , 3分
画图象正确 3分
法2
证明f ( x )为偶函数， 2分
画x 0时，f ( x ) = x2 – 2x 图象， 2分
将画出图象关于y轴对称. 2分
(2) 设0 < x1 < x2 1, 则f ( x1) – f ( x 2) = +x1 – –x2 = + ( x1 – x 2)
= ( x1 – x2) ( 1 – ) = (x1 – x2) . 3分
∵x1 < x2 , ∴x1 – x2 <0 ;
又∵0 < x1 <1 , 0< x2 1 . ∴ 0< x1 x2 < 1 , ∴x1x2 –1 < 0 .
∴f ( x1) – f ( x 2) > 0 , 即f ( x1) > f ( x 2);
所以当0 < x 1时，函数单调递减. 3分
21 (本小题满分14分)
解（1）设奖金总数为W万元.则有
W = 641 + 322 + 1622 + 823 + 424 + 225 + 126 + 27
= 726 + 27 = 926 (万元）. 5分
(2) 设门票收入为y元，则
y = 3000[a + ( a + 50 ) + ( a + 100 ) + (a +150) + ( a + 200 ) + ( a +250) + ( a +300 ) ]
= 3000( 7a +1050 ) . 5分
比赛不亏本，则3000[7a + 1050] 9000026 .
解得 a 124.3
答：要使邀请赛不亏本，第一轮价格至少要定为125元.
编辑者：南通家教（南通家教网)
